一、填空题（ ）本大题共有10小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不给分.
1. 用列举法描述集合 { }.
2. 命题“若 ，则实数 或 ”的否命题是 .
3. 函数 的定义域是______________.
4. 函数 的最大值为 .
5. （老教材）若 是方程 的根，且 、 均为实数，则 .
（新教材）若 ，则 __________.
6. 函数 的单调递增区间是______________.
7. 关于 的方程 有两个同号但不相等的实根的一个充要条件是 .
8. 如图1所示，用一根长为4米的木料制成窗框，设窗框的宽为 米，长为 米 .若不计木料的厚度与损耗，则将窗的面积S表示成宽 的函数 为 .
9. 不等式组 的正整数解集为________________.
10. 写出二次函数 的图像与 轴没有交点的一个充分不必要条件是___________________________.
二、选择题（ ）本大题共有6小题，每小题有且仅有一个正确的选项，每题选对得4分，选错或不选均不得分.
11. “ ”是“ ”的_______条件 （ ）
A. 充分非必要； B. 必要非充分； C. 充要； D. 既非充分又非必要.
12. 下列命题中与命题“能被6整除的整数一定能被2整除.”等价的命题是 （ ）
A. 能被2整除的整数一定能被6整除；
B. 不能被6整除的整数一定不能被2整除；
C. 不能被2整除的整数不一定能被6整除；
D. 不能被2整除的整数一定不能被6整除.
13. 函数 是 （ ）
A. 奇函数； B. 偶函数； C. 非奇非偶函数； D. 既是奇函数又是偶函数.
14. 若 ，则下列不等式中不一定成立的是 （ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
15. （老教材）下列命题中正确的是 （ ）
A. 任何两个复数都可以比较大小； B. 任意两个虚数的积一定是虚数；
C. 两个共轭复数的差是纯虚数； D. 任意一个纯虚数的平方一定是负实数.
（新教材）函数 的图像一定不经过 （ ）
A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限.
16. 已知 ，则关于表达式 ，下列说法正确的是 （ ）
A．有最小值 ； B．有最小值4； C．有最小值 ； D．有最大值4.
三、简答题（ ）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分6分）求证：函数 在区间 上单调递减.
18．（本题满分6分）函数 的图像如右图（图2）所示，试解不等式 .
19．（本题满分6分）建筑学规定，民用住宅的居室窗户面积必须小于该室内地面面积.同时，按室内采光标准，住宅的居室窗户面积与该室内地面面积之比不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件就越好.现在若同时增加相同的窗户面积和地面面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？请说明你的理由.
四、解答题（ ）本大题共有2题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
20．（本题满分8分）
（老教材）已知复数 ，若存在实数 ，使得 成立，求 的取值范围.
（新教材）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围.
21.（本题满分10分，其中第1小题3分，第2小题3分，第3小题4分）
已知函数 ，令 .
（1）求函数 的值域；
（2）任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；
…
…
…
（3）如图，已知 在区间 的图像，请据此在该坐标系中补全函数 在定义域内的图像，并在同一坐标系中作出函数 的图像. 请说明你的作图依据.
B卷
题号 一 三 总分
1～3 4
得分
一、填空题（ ）本大题共有2小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律不给分.
1. 已知函数 不是一次函数，它的定义域和值域都为 .且同时满足条件：
（1） ， ；
（2）对定义域内任意的实数 、 ，若 则 .
试写出一个满足以上条件的函数 的解析式 .
2. 若对于两个实数集合 、 ，
集合的运算 定义为： ；
集合的运算 定义为： .
已知实数集合 ， .试写出一个实数 ，使得 但 ，则 .
二、选择题（ ）本大题共有1小题，每小题有且仅有一个正确的选项，选对得3分，选错或不选均不得分.
3. 设A、B是两个非空集合，若规定： ,则 （ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
三、解答题（ ）本大题共有1题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
4.（本题满分11分）
已知二次函数 （a，b，c均为常数，且a≠0）满足条件 且方程 有两个等根.
（1）求函数 的解析式；
（2）试确定一个区间P，使得 在P内单调递减且不等式 在P内恒成立；
（3）是否存在这样的实数 、 （ ），使得 在区间 内的取值范围恰好是 ？如果存在，试求出 、 的值；如果不存在，请说明理由.
高一调研样卷参考解答
A卷
一、填空题：
1. 0，1，2，3 ； 2. 若 ，则实数 且 . 3. ； 4. 1；
5. （老教材） 0 （新教材） 3 ； 6. （左侧为开区间亦算对）； 7. ； 8. ， 9. 10. 开放题，可填 等；
二、选择题：
11A 12D 13B 14.C 15（老）D；（新）B； 16A
三、简答题：
17. 证：任取 ，
有
因为 ，所以 ， ，即
所以，函数 在区间 上单调递减.
18. 解： 的图像关于原点对称， 是奇函数
即 ，
由图像可知 ，
结合图形即可得出 不等式的解集为 .
19解：设住宅的窗户面积为a，地板面积为b，令窗户增大的面积和地板增大的面积都是m。
由已知得 且
因为 ，
故住宅的采光条件变好了。
四、解答题：
20.（老教材） 解：由
得到
.
注：将参数 直接代入求最值可参照给分.
20.（新教材）令 ，原方程即为 .
，
，当且仅当 时等号成立.
故实数 的取值范围是 .
21. （1）解：由条件， 的定义域为一切实数，故
所以， .
（2）表格内数据只要满足 和 互为相反数即可得分.
猜想： 或
证明：
(3) 和 的图象见下图.
因为 ，且 ， ，所以函数 和 都是偶函数，其本身图象关于 轴对称.
（注：只作对 图象，并说明了理由的可得2分）
又 所以函数 的图象和 的图象关于 轴对称，即 图象和 图象关于直线 对称.由此，可作出 和 在定义域内的全部图象.
（注：若说明采用描点法作图且图象基本正确，但没有对性质加以研究的解答可适当给分，但不给满分.函数 图像中的 点不挖去也不扣分）
B卷
B1开放题，可填 ， 等（注：此处没有加定义域不扣分）.
B2本题为开放题，可填“ ”等
B3 B
B4. 解：(1) 由 知此函数图像的对称轴方程为 ，且 .
又由方程 有等根，∴△ ，得 .
再由 ，可得 .故 .
(2) , 函数图像的对称轴方程为
且图像开口向下，所以若要在P内单调递减，
又 在P内恒成立，
综上所述：P= .
（注：开放题，答案可以是在区间 内的非空区间）
(3) ， ，即 .
而抛物线 的对称轴为 ，∴当 时， 在 上为增函数.
若满足题设条件的 存在，则
即 ，
又 ， ，这时，定义域为 ，值域为 。
所以，满足条件的 存在， .
编辑者：南京家教（南京家教网)
